基于超球重要抽樣的相關(guān)正態(tài)變量情況下的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析

上述兩種基于Monte Carlo數(shù)字模擬法的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法的顯著缺點(diǎn)是效率太低，由于絕大部分情況下引入的密度函數(shù)的密度中心處于遠(yuǎn)離失效域的安全域內(nèi)，因此大多數(shù)樣本點(diǎn)均落在安全域內(nèi)，對(duì)可靠性試驗(yàn)靈敏度的估計(jì)貢獻(xiàn)較小，為此本節(jié)將討論采用自適應(yīng)超球重要抽樣的方法來進(jìn)行相關(guān)正態(tài)變量情況下的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析。

為理解方便，本節(jié)首先引入了超球重要抽樣法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)及可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的基本原理，并采用文獻(xiàn)[5]提出的一種自適應(yīng)超球重要抽樣可靠性試驗(yàn)分析方法的思想，在對(duì)自適應(yīng)超球重要抽樣進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，形成一種搜索效率更高的自適應(yīng)重要抽樣法，并將其擴(kuò)展到相關(guān)正態(tài)變量情況下的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析，建立了基于超球自適應(yīng)重要抽樣的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的直接法和轉(zhuǎn)換法。

 超球重要抽樣的基本原理

 失效概率分析

由于安全域中的樣本點(diǎn)對(duì)失效概率的貢獻(xiàn)較小，文[9]提出了可靠性試驗(yàn)分析的超球重要抽樣法。該方法的基本思想是確定安全域中的一個(gè)半徑為的超球，由于超球位于安全域，因此落入超球內(nèi)的樣本點(diǎn)無需計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)值即可判別其落在安全域，從而減少了可靠性試驗(yàn)分析所需的極限狀態(tài)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)，提高了可靠性試驗(yàn)分析數(shù)字模擬方法的效率。從理論上來說，只要能夠確定安全域中的一個(gè)半徑為的超球，就可以提高計(jì)算的效率，顯然位于安全域中的超球的半徑越大，計(jì)算效率提高的越多。

由于獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間特殊的統(tǒng)計(jì)特性，傳統(tǒng)的超球重要抽樣可靠性試驗(yàn)分析均是在獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中完成的。在獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心，以坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)方程上的最可能失效點(diǎn)的距離為半徑的超球是安全域中最大的超球。傳統(tǒng)的超球重要抽樣法一般是通過尋找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的最可能失效點(diǎn)來確定最大的安全域超球的。

以記維獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，記安全域內(nèi)超球的半徑，記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的極限狀態(tài)函數(shù)，F記失效域，則失效概率可由全概率公式寫成下列形式：

其中。

由于～且相互獨(dú)立，因此～，從而有

其中是自由度為的分布函數(shù)。

進(jìn)而失效概率可改寫為下式

基于超球重要抽樣的可靠性試驗(yàn)分析時(shí)，仍然采用Monte Carlo法抽取個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的樣本點(diǎn)，首先篩選出這個(gè)樣本點(diǎn)中落在超球外的個(gè)樣本點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)樣本點(diǎn)的極限狀態(tài)函數(shù)值，由下式給出失效概率的估計(jì)值。

對(duì)式所示的失效概率估計(jì)值求數(shù)學(xué)期望和方差分別有以下兩式成立。

顯然，基于超球重要抽樣的失效概率估計(jì)值是失效概率的無偏估計(jì)。

在數(shù)值模擬的過程中，考慮用樣本平均值和方差分別代替總體的數(shù)學(xué)期望和方差，可近似得到失效概率估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差分別如以下兩式所示。

與Monte Carlo法相比，在得到相同精度的失效概率估計(jì)值情況下，基于超球重要抽樣的方法節(jié)省的極限狀態(tài)函數(shù)的估計(jì)次數(shù)為，這種節(jié)省量隨失效概率的減小和超球半徑的增大而增大。

 可靠性試驗(yàn)靈敏度分析

在獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，對(duì)基于超球重要抽樣的可靠性試驗(yàn)分析方法進(jìn)行擴(kuò)展，即可得到相應(yīng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法。從上述個(gè)樣本點(diǎn)中篩選出落在超球外的個(gè)樣本點(diǎn)后，可按下式估計(jì)失效概率對(duì)隨機(jī)變量的第個(gè)分量的分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度。

與失效概率估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差的求解過程類似，可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差在數(shù)字模擬的過程中可分別由式和來估計(jì)，并且基于超球重要抽樣的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值同樣是的無偏估計(jì)。

 確定超球半徑的自適應(yīng)策略

超球重要抽樣需解決的關(guān)鍵問題是確定超球的半徑，一次二階矩方法(FORM)可以用來確定較優(yōu)超球半徑，但該方法不穩(wěn)健，尤其是針對(duì)含高維隨機(jī)變量的隱式極限狀態(tài)函數(shù)，一次二階矩法常常出現(xiàn)不收斂或是陷入局部較優(yōu)等問題。針對(duì)一次二階矩法存在的問題，文獻(xiàn)[5]提出了一種自適應(yīng)確定超球較優(yōu)半徑的方法，該方法的基本思想是在抽樣的過程中，利用失效域提供的信息逐步修正超球的半徑，使得其穩(wěn)健的收斂于較優(yōu)半徑。但文[5]在搜索較優(yōu)超球半徑時(shí)需要增加的額外工作量較大，本小節(jié)在文[5]自適應(yīng)尋找超球較優(yōu)半徑的基礎(chǔ)上提出了如下搜索超球較優(yōu)半徑的流程（下述流程的討論如無特別說明均是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中進(jìn)行的）。

(1)、設(shè)置初始超球半徑；

與傳統(tǒng)方法有所不同，自適應(yīng)超球重要抽樣在設(shè)置初始半徑時(shí)應(yīng)滿足超球與失效域相交，這種的設(shè)置可以通過使得式所示的樣本點(diǎn)落在超球外的概率取很小的值來實(shí)現(xiàn)。由于結(jié)構(gòu)的失效概率一般較小，所以一般選取比較合適。選取后，可由下式確定初始。

(2)、設(shè)置隨機(jī)數(shù)的初始狀態(tài)并產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；

(3)、計(jì)算半徑為的超球外樣本點(diǎn)的極限狀態(tài)函數(shù)并確定失效樣本；

對(duì)于的樣本點(diǎn)，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值，并保存計(jì)算結(jié)果，避免后續(xù)再次重復(fù)的計(jì)算該樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值。同時(shí)，對(duì)于的樣本點(diǎn)，按式或進(jìn)行失效概率或可靠性試驗(yàn)靈敏度的累加計(jì)算。

(4)、線性搜索以確定第次迭代的超球半徑；

對(duì)所有滿足且的樣本點(diǎn)，即落入第次迭代的超球外的失效樣本點(diǎn)，如圖4.1中的A、B點(diǎn)，分別求其概率密度函數(shù)，選取其中概率密度函數(shù)最大的樣本點(diǎn)，在其與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線方向上進(jìn)行線性搜索，由于是內(nèi)插搜索，因此一般經(jīng)過2到3次搜索，即可確定該連線與極限狀態(tài)的近似交點(diǎn)，交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即為新的超球半徑。

圖4.1 決定超球較優(yōu)半徑的自適應(yīng)策略示意圖

(5)、計(jì)算第與次超球之間的樣本點(diǎn)的極限狀態(tài)函數(shù)值并確定失效樣本；

對(duì)于的樣本，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值，并保留結(jié)果，對(duì)于這些樣本中者，按式或進(jìn)行失效概率或可靠性試驗(yàn)靈敏度的累加計(jì)算。

(6)、重復(fù)(4)和(5)步直至下列收斂條件被滿足即可得到超球的較優(yōu)半徑

確定超球較優(yōu)半徑流程的迭代終止條件為失效概率的最大相對(duì)誤差低于失效概率的相對(duì)誤差限。由中心極限定理可知，失效概率估計(jì)值近似服從均值為、方差為的正態(tài)分布，因此根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)的定義有式成立。

由上式可得到失效概率估計(jì)值置信度為的置信區(qū)間如式所示。

由此可得失效概率的相對(duì)誤差限為

由于在上述數(shù)字模擬過程中，為失效概率的無偏估計(jì)，因此上式所示的失效概率的相對(duì)誤差限可近似表示為

如果將失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)設(shè)置為0.1，則在給定95%的置信水平的情況下失效概率相對(duì)誤差的極限值為[5]

這個(gè)精度對(duì)于大多數(shù)工程應(yīng)用是合理的，而且實(shí)際誤差將是小于誤差極限值的。