基于修正的Latin方抽樣的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析

上述抽樣過程中矩陣是隨機(jī)產(chǎn)生的，其各列間難免會引入一定的統(tǒng)計(jì)相關(guān)，自然會影響到可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的偏度和方差。

隨機(jī)排列的整數(shù)矩陣各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)由排列相關(guān)矩陣描述，矩陣中的元素是的第列和第列間的Spearman系數(shù)，其定義為[7]

其中是兩個樣本排列的序差，為樣本容量。顯然是一個維的對稱矩陣，并且中各列間不存在統(tǒng)計(jì)相關(guān)時是一個單位陣。

修正的Latin方抽樣采用統(tǒng)計(jì)相關(guān)的減小方程, 使得上面提到的統(tǒng)計(jì)相關(guān)問題得到改善。修正的Latin方抽樣與Latin方抽樣具有相同的理論背景，對Latin方抽樣的使用范圍和要求等沒有任何改變，可以廣泛應(yīng)用到結(jié)構(gòu)可靠性試驗(yàn)分析和可靠性試驗(yàn)靈敏度分析過程中。

Latin方抽樣產(chǎn)生隨機(jī)排列的整數(shù)矩陣（區(qū)間秩數(shù)矩陣）后，由排列相關(guān)矩陣描述各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)，矩陣的各個元素按照式產(chǎn)生。假設(shè)是一個下三角矩陣，且滿足下面的關(guān)系式

其中表示的轉(zhuǎn)置，矩陣可以由式得到。

其中是一個下三角矩陣，滿足

考慮到的實(shí)現(xiàn)過程，是正定矩陣，所以可以對進(jìn)行Cholesky分解容易得到矩陣，進(jìn)而可得。最后采用下面的轉(zhuǎn)換公式可以得到一個的矩陣。

同樣的，可以用排列相關(guān)矩陣描述各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)，由文獻(xiàn)[8]的證明可以知道更接近于單位陣。可以按照中各列數(shù)據(jù)的大小順序重新排列矩陣，使得矩陣中兩個樣本的序差與矩陣中兩個樣本的序差相同，顯然矩陣的排列相關(guān)矩陣等于，從而矩陣各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)可以得到一定程度的減小。上述過程反復(fù)迭代進(jìn)行可以使排列相關(guān)矩陣越來越接近于單位陣，以達(dá)到對隨機(jī)排列的整數(shù)矩陣進(jìn)行修正的目的。

4.3 算例分析

算例6.1：線性極限狀態(tài)函數(shù)為，其中各隨機(jī)變量相互獨(dú)立并服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，表61給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率和失效概率對變量分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)結(jié)果，圖6.1、圖6.2分別給出直接Monte Carlo(MC)、Latin方抽樣(Latin hypercube sampling, LHS)以及修正的Latin方抽樣(updated Latin hypercube sampling, ULHS)三種不同方法均抽取600個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量均值的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的直方圖和估計(jì)值方差的直方圖。這里僅給出了失效概率對變量均值的可靠性試驗(yàn)靈敏度的分析結(jié)果，失效概率對其他變量分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度與之類似。

表61 算例6.1的失效概率及其可靠性試驗(yàn)靈敏度(Monte Carlo法抽樣107次)

備注：直方圖中的圖a、b、c分別表示對應(yīng)于MC、LHS和ULHS三種方法所得到的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的直方圖，以下相同。

對于此線性極限狀態(tài)函數(shù)算例，由失效概率對變量均值的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值及其方差的直方圖容易看出，在樣本容量很小的情況下（本例抽樣600次），Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣比Monte Carlo法抽樣相同的次數(shù)得到的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值更加集中、估計(jì)值方差的分散性更小。另外，比較圖6.2中的b、c兩圖可以看出，修正的Latin方抽樣比Latin方抽樣得到的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的方差的分散性更小。

算例6.2：非線性極限狀態(tài)，其中各隨機(jī)變量相互獨(dú)立并服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。表62給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率和失效概率對變量分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)結(jié)果，圖6.3、圖6.4和圖6.5、圖6.6分別給出三種不同方法均抽取2000個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量的標(biāo)準(zhǔn)差和的標(biāo)準(zhǔn)差可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的直方圖及估計(jì)值方差的直方圖。

表62 算例6.2的失效概率及其可靠性試驗(yàn)靈敏度（Monte Carlo法抽樣107次）

對于此非線性極限狀態(tài)函數(shù)算例，從圖6.3～圖6.6中的a、b兩圖的對比容易看出，Latin方抽樣比Monte Carlo抽樣相同的次數(shù)所得到的估計(jì)值更加集中、估計(jì)值方差的分散性更小；從圖6.3～圖6.6中的b、c兩圖的對比可以看出，當(dāng)可靠性試驗(yàn)靈敏度較大(如失效概率對變量的標(biāo)準(zhǔn)差可靠性試驗(yàn)靈敏度)時，修正的Latin方抽樣比未修正的Latin方抽樣得到的估計(jì)值更加集中、估計(jì)值方差的分散性更小；當(dāng)可靠性試驗(yàn)靈敏度較小(如失效概率對變量的標(biāo)準(zhǔn)差可靠性試驗(yàn)靈敏度)時，修正的Latin方抽樣得到的估計(jì)值的集中性和估計(jì)值方差的分散性并不比未修正的Latin方抽樣好，這是因?yàn)榭煽啃栽囼?yàn)靈敏度較小時，需要較大的樣本才能得到收斂的估計(jì)結(jié)果，但是樣本容量增加后修正的Latin方抽樣方法比之于未修正的Latin方抽樣法的優(yōu)點(diǎn)將會降低。但是，不論可靠性試驗(yàn)靈敏度大小如何，在樣本容量適中的情況下（本例抽樣2000次），Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣均比Monte Carlo法得到的估計(jì)值更加集中、估計(jì)值方差的分散性更小，在結(jié)構(gòu)可靠性試驗(yàn)靈敏度分析中Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣是一種高效的分析方法。

算例6.3：對于算例2.2的九盒段結(jié)構(gòu)，采用MC、LHS和ULHS對其進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析，表63給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率及其對變量分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)結(jié)果，圖6.7和圖6.8分別給出三種不同方法均抽取800個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量的標(biāo)準(zhǔn)差可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的直方圖及估計(jì)值方差的直方圖。

表63 算例6.3的失效概率及其可靠性試驗(yàn)靈敏度（Monte Carlo法抽樣107次）

由此工程算例可以看出，用Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣得到的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值更加集中、估計(jì)值方差的分散性更小。由圖6.7和圖6.8中b、c兩圖的對比容易看出，修正的Latin方抽樣所得到的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)結(jié)果更加穩(wěn)定，這充分說明Latin方抽樣方法，特別是修正的Latin方抽樣方法在工程應(yīng)用中是一種估算更加穩(wěn)定、效率更高的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法。

算例6.4：串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)包含兩個失效模式，分別為，，其中的兩個基本隨機(jī)變量、均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，表64給出Monte Carlo法抽樣107次所得到的失效概率和失效概率對變量分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)結(jié)果，圖6.9、圖6.10分別給出三種不同方法均抽取2000個樣本各20次所得到的20組失效概率對變量標(biāo)準(zhǔn)差的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的直方圖及估計(jì)值方差的直方圖。

表64 算例6.4的失效概率及其可靠性試驗(yàn)靈敏度(Monte Carlo法抽樣107次)

對于此多模式算例，由以上可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值及其方差的直方圖容易看出，在樣本容量較小的情況下（本例抽樣2000次），Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣比Monte Carlo法抽樣相同的次數(shù)得到的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值更加集中、估計(jì)值方差的分散性更小。另外，比較圖6.9、圖6.10中的b、c兩圖可以看出，修正的Latin方抽樣比Latin方抽樣得到的估計(jì)值更加集中、估計(jì)值的方差的分散性更小。

綜合比較四個算例可以看出，抽樣的樣本數(shù)量越小Latin方抽樣估算結(jié)果穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)越明顯。